sábado, 22 de agosto de 2015

MATRICES

RESEÑA HISTORICA
L definicion de matrices aparece por primera vez en el año 18501, introducida por J.J Sylvester. SIn embargo hace mas de dos mil años los matematicos chinos habian descubierto ya un metodo de resolucion de sistemas de ecuaciones lineales y por lo tanto, empleaban tabals con numeros.
El desarrollo inicial de la teoria de matrices se debe al matematico W.R Hamilton en 1853. En 185¡8 Arthur Cayley introduce la notacion matricial como una forma abreviada de escribir un sistema de m ecuaciones lineales con n incognitas, la misma que fue descrita en su publicacion "memorias sobre la teoria de matrices".
En esta publicacion, Cayley daba la definicion de matriz y las opperaciones de suma entre matrices, de la multiplicacion de un numero real por una matriz de la multiplicacion entre matrices y de la inversa de una matriz.
Las matrices de utilizan en el calculo numerico den la resolucion de sistemas de ecuaciones lineales que surgen de probvlemas reles de produccion, en la resolucion de las ecuaciones diferenciales y las derivadas parciales temas que se analizaran en cursos superiores de calculo. 
La utilizacion de matrices copnstituye actualmente una parte esencial de los lenguajes de programacion ya quela mayoria de datos se introducen en las computadoras como tablas organizadas en filas y columnas:hojas de calculo, base de datos, entre otros.

DEFINICION DE MATRIZ
na matriz es un arreglo bidimensional de números (llamados entradas de la matriz) ordenados en filas (o renglones) y columnas, donde una fila es cada una de las líneas horizontales de la matriz y una columna es cada una de las líneas verticales. A una matriz con n filas y m columnas se le denomina matriz n-por-m (escrito n\times m) donde n,m\in \mathbb{N}-\{0\}. El conjunto de las matrices de tamaño n\times m se representa como \mathcal{M}_{n\times m}(\mathbb{K}), donde \mathbb{K} es el campo al cual pertenecen las entradas. El tamaño de una matriz siempre se da con el número de filas primero y el número de columnas después.
\mathbf{A} = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \\ \end{bmatrix}
Clasificacion de matrices
 Matriz fila
Una matriz fila está constituida por una sola fila.

columna

Matriz Columna 
La matriz columna tiene una sola columna.
columna
 Matriz Rectangular
La matriz rectangular tiene distinto número de filas que de columnas, siendo su dimensión mxn.
Rectangular 
Matriz Traspuesta 
Dada una matriz A, se llama matriz traspuesta de A a la matriz que se obtiene cambiando ordenadamente las filas por las columnas.

matrices traspuestas
Matriz Nula
En una matriz nula todos los elementos son ceros.
matriz nula

Matriz cuadrada

La matriz cuadrada tiene el mismo número de filas que de columnas.
Los elementos de la forma aii constituyen la diagonal principal.
La diagonal secundaria la forman los elementos con i+j = n+1, siendo n el orden de la matriz.
Cuadrada

 

Matriz triangular superior

En una matriz triangular superior los elementos situados por debajo de la diagonal principal son ceros.
Matriz triangular superior

Matriz triangular inferior

En una matriz triangular inferior los elementos situados por encima de la diagonal principal son ceros.
inferior

Matriz diagonal

En una matriz diagonal todos los elementos que no están situados en la diagonal principal son nulos.
diagonal

Matriz escalar

Una matriz escalar es una matriz diagonal en la que los elementos de la diagonal principal son iguales.
Escalar

Matriz identidad o unidad

Una matriz identidad es una matriz diagonal en la que los elementos de la diagonal principal son iguales a 1.
identidad
Propiedades entre matrices
Sean A,B,C\in\mathcal{M}_{n\times m}(\mathbb{K}), donde \mathbb{K} es un campo entonces se cumplen las siguientes propiedades para la operación binaria. 
Asociatividad
(A+B)+C=A+(B+C)\,\!
 Conmutatividad
(A+B)=(B+A)\,\!
Existencia del elemento neutro aditivo
Existe 0\in\mathcal{M}_{n\times m}(\mathbb{K}) tal que

A+0=0+A=A\,\!

Existencia del inverso aditivo
Existe D\in\mathcal{M}_{n\times m}(\mathbb{K}) tal que
A+D=0\,\!
a esta matriz D\,\! se le denota por -A\,\!
 OPERACIONES ENTRE MATRICES

Suma y diferencia de matrices

La suma de dos matrices A=(aij), B=(bij) de la misma dimensión, es otra matriz S=(sij) de la misma dimensión que los sumandos y con término genérico sij=aij+bij. Por tanto, para poder sumar dos matrices estas han de tener la misma dimensión.
La suma de las matrices A y B se denota por A+B.

 suma

suma
Propiedades de la suma de matrices
  1. A + (B + C) = (A + B) + C (propiedad asociativa)
  2. A + B = B + A (propiedad conmutativa)
  3. A + 0 = A (0 es la matriz nula)
  4. La matriz –A, que se obtiene cambiando de signo todos los elementos de A, recibe el nombre de matriz opuesta de A, ya que A + (–A) = 0.
La diferencia de matrices A y B se representa por A–B, y se define como: A–B = A + (–B)

 Producto por un escalar por una matriz


Sean A\in\mathcal{M}_{n\times m}(\mathbb{K}) y \lambda\in\mathbb{K}. Se define la operación de producto por un escalar como una función \mathbb{K}\times\mathcal{M}_{n\times m}(\mathbb{K})\longrightarrow\mathcal{M}_{n\times m}(\mathbb{K}) tal que (\lambda,A)\mapsto B=\lambda A y donde b_{ij}=\lambda a_{ij}\,\! en donde el producto es la operación binaria correspondiente pero en el campo \mathbb{K}. Por ejemplo, la entrada b_{12}\,\! es igual al producto \lambda a_{12}\,\!.
Veamos un ejemplo más explícito. Sea A\in\mathcal{M}_{2\times 3}(\mathbb{R}) y 2\in\mathbb{R}




Producto de un número real por una matriz
Propiedades del producto por un escalar
  • Asociatividad
(\lambda\mu)A=\lambda(\mu A)\,\!
 
  • Distributividad respecto de la suma de matrices
\lambda(A+B)=\lambda A+\lambda B\,\!

 

  • Distributividad respecto de la suma en el campo
(\lambda+\mu)A=\lambda A+\mu A\,\!

 

  • Producto por el neutro multiplicativo del campo
1_{\mathbb{K}}A=A\,\!

Producto de matrices

Sean A\in\mathcal{M}_{n\times m}(\mathbb{K}) y B\in\mathcal{M}_{m\times p}(\mathbb{K}). Se define el producto de matrices como una función \mathcal{M}_{n\times m}(\mathbb{K})\times\mathcal{M}_{m\times p}(\mathbb{K})\longrightarrow \mathcal{M}_{n\times p}(\mathbb{K}) tal que (A,B)\mapsto C=AB y donde c_{ij}=\sum_{k=1}^{m}a_{ik}b_{kj} para toda i,j\,\!, es decir c_{ij}=a_{i1}b_{1j}+a_{i2}b_{2j}+a_{i3}b_{3j}+\dots+a_{im}b_{mj}\,\!. Por ejemplo, la entrada c_{12}=a_{11}b_{12}+a_{12}b_{22}+a_{13}b_{32}+\dots+a_{1m}b_{m2}.
Veamos un ejemplo más explícito. Sean A\in\mathcal{M}_{2\times 3}(\mathbb{R}) y
B\in\mathcal{M}_{3\times 2}(\mathbb{R})

\begin{bmatrix} \,\,\ \, 1 & 0 & 2 \\ -1 & 3 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 3 & 1 \\ 2 & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \, \,\,\, 1(3)+0(2)+2(1) & \,\,\,\,1(1)+0(1)+2(0) \\ -1(3)+3(2)+1(1) & -1(1)+3(1)+1(0) \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 5 & 1 \\ 4 & 2 \\ \end{bmatrix}

Mm x n x Mn x p = M m x p
Producto de un número real por una matriz




Resolver matriz potencia  con este guión puedes calcular la potencia de una matriz de orden 3, muy útil para calcular por inducción una matriz elevada a n.

Utilización guión matriz potencia


Calcular la potencia de una matriz. 

Dada una matriz cuadrada
se llama determinante de A, y se representa por |A| ó det(A), al número:
Definición de determinante , con
(Sn es el grupo de las permutaciones del conjunto {1, 2,.. n}, e i(s) es la signatura de la permutación)





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