NUMEROS REALES

RESEÑA HISTORICA

NUMEROS REALES

En matemáticas, los números reales (designados por ℝ) incluyen tanto a los números racionales (positivos, negativos y el cero) como a los números irracionales; y en otro enfoque, trascendentes y algebraicos. Los irracionales y los trascendentes (1970) no se pueden expresar mediante una fracción de dos enteros con denominador no nulo; tienen infinitas cifras decimales aperiódicas, tales como: √5, π, el número real log2, cuya trascendencia fue enunciada por Euler en el siglo XVIII.

Los números reales pueden ser descritos y construidos de varias formas, algunas simples aunque carentes del rigor necesario para los propósitos formales de matemáticas y otras más complejas pero con el rigor necesario para el trabajo matemático formal.

Durante los siglos XVI y XVII el cálculo avanzó mucho aunque carecía de una base rigurosa, puesto que en el momento no se consideraba necesario el formalismo de la actualidad, y se usaban expresiones como «pequeño», «límite», «se acerca» sin una definición precisa. Esto llevó a una serie de paradojas y problemas lógicos que hicieron evidente la necesidad de crear una base rigurosa para la matemática, la cual consistió de definiciones formales y rigurosas (aunque ciertamente técnicas) del concepto de número real.En una sección posterior se describirán dos de las definiciones precisas más usuales actualmente: clases de equivalencia de sucesiones de Cauchy de números racionales y cortaduras de Dedekind.

 

 

Un múltiplo de un número es el que lo contiene un número entero de veces. En otras palabras, un múltiplo es un número tal que, dividido por a, da por resultado un número entero (el resto de la división euclídea es cero). Los primeros múltiplos del uno al diez suelen agruparse en las llamadas tablas de multiplicar.

Ejemplo: 18 es múltiplo de 9.

TEOREMA FUNDAMENTAL DE LA ARITMETICA

COMPUESTOS._ es aquel numero que puede ser dividido en sus factores primos.

Todo número natural no primo, a excepción del 1, se denomina compuesto, es decir, tiene uno o más divisores distintos a 1 y a sí mismo. También se utiliza el término divisible para referirse a estos números.

Los 30 primeros números compuestos son:

4,6,8,9,10,12,14,15,16,18,20,21,22,24,25,26,27,28,30,32,33,34,35,36,38,39,40,42,44 y 45

MAXIMO COMUN DIVISOR

El máximo común divisor de dos números puede calcularse determinando la descomposición en factores primos de los dos números y tomando los factores comunes elevados a la menor potencia, el producto de los cuales será el MCD.

MINIMO COMUN MULTIPLO

El mínimo común múltiplo (abreviado m.c.m), de dos o más números naturales es el menor número natural que es múltiplo común de todos ellos. Este concepto ha estado ligado históricamente con números naturales, pero se puede usar para enteros negativos o enteros gaussianos.

 

 

Un número par es un número entero que se puede escribir de la forma: 2k (es decir, divisible de manera entera entre 2), donde k es un entero (los números pares son los múltiplos del número 2). Los números enteros que no son pares, se llaman números impares (o nones), y se pueden escribir como 2k+1.

 JERARQUIA DE OPERACIONES

1º.Efectuar las operaciones entre paréntesis, corchetes y llaves.

2º.Calcular las potencias y raíces.

3º.Efectuar los productos y cocientes.

4º.Realizar las sumas y restas.

Tipos de operaciones combinadas

1. Operaciones combinadas sin paréntesis

1.1 Combinación de sumas y diferencias.

9 - 7 + 5 + 2 -6 + 8 - 4 =

Comenzando por la izquierda, vamos efectuando las operaciones según aparecen.

= 9 - 7 + 5 + 2 -6 + 8 - 4 = 7

1.2 Combinación de sumas, restas y productos.

3 · 2 - 5 + 4 · 3 - 8 + 5 · 2 =

Realizamos primero los productos por tener mayor prioridad.

= 6 - 5 + 12 - 8 + 10 =

Efectuamos las sumas y restas.

= 6 - 5 + 12 - 8 + 10 = 15

 DECIMALES

 

La parte decimal de los valores decimales se ubica al lado derecho de la coma y en la recta numérica, esta parte estaría ubicada entre el cero y el uno, mientras que la parte entera se la escribe en la parte derecha. En el caso de que un número decimal no posea una parte entera, se procede a escribir un cero al lado izquierdo o delante de la coma. Aquí varios ejemplos para ilustrar estos casos:

7,653

En este valor podemos ver que el número entero se encuentra primero es siete o 7, delante de la coma o a su izquierda, mientras que la parte decimal, que en es te caso contra de tres cifras es 653 y se encuentra a la derecha de la cifra.

0,23

En este otro ejemplo, vemos que la parte decimal tiene solo dos cifras, pero la parte entera se reduce a cero, por lo tanto se deduce que la parte entera es nula y debe ser expresada de esa manera.

4 + 0,23 = 4,23

Este ejercicio nos demuestra como la parte entera se une con la parte decimal a través de una suma que indica que la parte entera es 4 mientras que la parte decimal se reduce a un número menor que uno pero mayor que cero, en este caso 0,23.

Clasificación de los números decimales

Existen varias formas de separar los números decimales; puede ser con una coma, con un punto o con un apóstrofe según se acostumbre y se desee, pero también existen varias formas de números decimales, entre los que tenemos:

Números decimales exactos.- estos son valores cuya parte decimal posee un número limitado de cifras decimales y se pueden escribir sin un excesivo esfuerzo, como estos:

0,75; 2,6563; 6,32889

Números decimales periódicos.- son aquellos que tienen un número ilimitado o infinito de cifras decimales, pero que se repiten en un patrón o período determinado que es visible dentro de un número de cifras variable en cada caso. Para denotar que se trata de un número infinito, que no puede ser escrito indefinidamente por un ser humano, se utilizan tres puntos seguidos que significa infinidad, por ejemplo.

1,333333333…; 6,0505050505…; 5,325483254832548…

Números decimales periódicos puros.-donde los números decimales son parte del mismo grupo como:

3,63636363…

Números decimales periódicos mixtos.- donde existen cifras que están fuera del periodo o patrón de cifras decimales, como en:

9,36666666…

Números decimales no periódicos.- estos números tienen cifras decimales infinitas que no pueden ser definidas como un patrón, un buen ejemplo de números decimales no periódicos, son los números irracionales, como:

El número Pi, o como se lo conoce mejor con su símbolo π. Su valor es el cociente entre la longitud o perímetro de la circunferencia y la longitud de su diámetro. De él se han calculado millones de cifras decimales y aún sigue sin ofrecer un patrón. La aproximación de su número es 3.141592653589…

Composición de un número decimal

Los números decimales se componen de cifras que son separadas de la parte entera con una como, un punto o un apóstrofe, como se señalaba en la parte anterior. Pero estas cifras también tienen una característica que las diferencia según la posición de su denominador. Las décimas se ubican un lugar después de la coma o separador; las centésimas están dos lugares después del separador; las milésimas en el tercer lugar y así podríamos seguir con las diezmilésimas, las cienmilésimas, etc.

Por ejemplo en el número 7,951 notamos que 7 es la parte entera, 9 es la décima, 5 es la centésima y 1 es la milésima.

Operaciones con números decimales

Suma y resta

Para sumar y restar números decimales, debemos anotar cada valor en forma vertical, para facilitar la operación, de tal manera que la coma quede en la misma columna, incluso si la parte entera de un valor tenga más cifras que el otro, como se ve en el ejemplo siguiente:

3,48

9,657

A continuación, se iguala el número de cifras decimales de cada valor si es necesario, añadiendo uno o varios ceros al valor con menos cifras decimales para que queden con el mismo número, pues el cero añadido a la derecha de la parte decimal no altera el valor, así:

3,480

9,6570

Finalmente se suma de manera tradicional, sin tomar en cuenta la coma, y al resultado final se le añade la coma en l misma posición que se encuentra en ambos valores sumados o restados.

3,480

+9,657

=13,137

Multiplicación

Para multiplicar dos números decimales, o un número decimal por un número entero, se resuelve la operación sin tomar en cuenta la coma. Luego el número de cifras decimales será la suma del número de cifras decimales de los dos factores, es decir que si un factor tiene dos cifras decimales y el otro tiene una cifra decimal, quiere decir que el resultado deberá tener tres cifras decimales, como en el siguiente ejemplo

3,25 x 2,7

325

X27

2275

650

=8,775

Ahora con un ejemplo, como multiplicar un número decimal por un entero, donde simplemente se siguen las reglas anteriores, con la diferencia de que el número entero tiene cero cifras decimales por lo tanto el número de cifras decimales del resultado se mantiene como en el factor decimal, veamos:

3,25 x 2

325×2=650

=6,50

Para multiplicar números decimales por cifras que son múltiplos de diez, solo recorremos la coma hacia la derecha tantos espacios como ceros tenga el múltiplo de diez, y en el caso de que tengamos que seguir recorriendo y ya no haya cifras decimales, añadimos ceros al resultado, de esta manera:

3,568×10 = 35,68

3,568×100 = 356,8

3,568×1000 = 3568

3,568×10000 = 35680

División

Para dividir números decimales, tenemos varios casos según los decimales se encuentren en el divisor, en el dividendo o en ambos.

Para dividir cuando el dividendo es decimal, se hace la división sin tomar en cuenta la coma y al obtener la primera cifra decimal, se pone la coma en el resultado y se sigue dividiendo de la misma manera.

526,6562 / 7

36 75,2366

16

25

46

42

0

Para dividir cuando el decimal se encuentra en el divisor, se debe recorrer la coma hasta el final de la cifra del divisor, mientras que en el dividendo se añaden ceros por el mismo número de espacios recorridos por la coma. Y se procede a dividir de manera normal.

6824 / 36,58

682400 / 3658

Cuando el dividendo y el divisor son números decimales, recorremos las comas por tantos espacios sean necesarios para que desaparezca del número con más cifras decimales. Mientras que en el número que tiene menos cifras decimales se irán añadiendo ceros según los espacios que falten, y se procede a dividir de la manera tradicional.

32,698 / 8,25

32698 / 8250

Para dividir un número decimal para una cifra múltiplo de diez se debe retroceder la coma hacia la izquierda según el número de ceros que tenga el múltiplo de diez, y si excede el número de espacios, se debe añadir ceros mientras se mantiene la coma y un cero a su izquierda, como a continuación.

3568/10 = 356,8

3568/100 = 35,68

3568/1000 = 3,568

3568/10000 = 0,3568

3568/100000 = 0,03568

RAZONES Y PROPORCIONES

RAZÓN

Razón o relación de dos cantidades es el resultado de comparar dos cantidades.

Dos cantidades pueden compararse de dos maneras: Hallando en cuánto excede un a la otra, es decir, restándolas, o hallando cuántas veces contiene una a la otra, es decir, dividiéndolas. De aquí que haya dos clases de razones: razón aritmética o por diferencia y razón geométrica o por cociente.

Por ejemplo, si las edades de Carlos y Francisco son 12 y 15 años, entones la razón entre sus edades es: 12:15. Si simplificamos la fracción obtenemos .

Razón aritmética o por diferencia de dos cantidades es la diferencia indicada de dichas cantidades.

Las razones aritméticas se pueden escribir de dos modos: Separándolas dos cantidades con el signo ― o con un punto (.). Así, la razón aritmética de 6 a 4 se escribe: 6―4 ó 6.4 y se lee seis es a cuatro.

Los términos de la razón se llaman: antecedente el primero y consecuente el segundo. Así, en la razón 6―4, el antecedente es 6 y el consecuente 4.

Razón geométrica o por cociente de dos cantidades es el cociente indicado de dichas cantidades.

Las razones geométricas se pueden escribir de dos modos: En forma de quebrado, separados numerador y denominador por una raya horizontal o separadas las cantidades por el signo de división (¸). Así, la razón geométrica de 8 a 4 se escribe u 8¸4 y se lee ocho es a cuatro.

Los términos de la razón se llaman: antecedente el primero y consecuente el segundo. Así, en la razón 8¸4, el antecedente es 8 y el consecuente 4.

PROPORCIONES

Es una proporción, lo que se puede constatar porque los productos cruzados son iguales:

12·5=4·15.

Por lo tanto, la propiedad fundamental de las proporciones es  .

Proporcionalidad Directa

Dos variables están en proporcionalidad directa si su cociente permanece constante:

K es la constante de proporcionalidad.
El gráfico de dos variables en proporcionalidad directa es un conjunto de puntos que están sobre una recta que pasa por el origen del sistema de coordenadas. Analizando el gráfico se visualiza que si una magnitud aumenta, la otra también aumenta.

Ejemplo:

Un vehículo en carretera tiene un rendimiento de 16 km por cada litro de bencina. ¿Cuántos litros de bencina consumirá en un viaje de 192 km?
Se forma la proporción entre las variables distancia – consumo de bencina (si aumenta la distancia, entonces se deduce que el consumo aumenta, por lo tanto son directamente proporcionales).

Ocupando la propiedad fundamental de las proporciones obtenemos que:

Entonces,

16/1 = 16 (constante)    y    192/12 = 16 (constante)

Proporcionalidad Inversa

Dos variables están en proporcionalidad inversa si su producto permanece constante:

k es la constante de proporcionalidad.

El gráfico de dos variables que están en proporcionalidad inversa es un conjunto de puntos que están sobre una hipérbola.

Analizando el gráfico se visualiza que a medida que una magnitud aumenta, la otra magnitud disminuye.
Ejemplo: Tres obreros demoran 5 días en hacer una zanja. ¿Cuánto demorarán 4 obreros?
La relación entre el número de obreros – tiempo es de proporcionalidad inversa, ya que si trabajan más obreros, entonces se demorarán menos tiempo en terminar el trabajo. Aplicando la propiedad de las proporciones inversas, el producto entre las variables es constante:

Entonces, 3 x 5 = 15 (constante)    y    4 x 3,75 = 15(constante)

Proporción Compuesta               

Es una combinación de las proporciones directas inversas pueden ser: dos proporciones directas, una proposición directa y una inversa o dos proporciones inversas.                                 Ejemplo:
Se necesitan 20 obreros para pavimentar 2 km de camino en 5 días. ¿Cuántos obreros pavimentarán 5 km en 10 días?
a) En primer lugar, determinaremos qué tipo de proporcionalidad existe entre las variables.
Sean: obreros (O) – longitud del camino (L):                                                                                               Estas dos variables están en proporcionalidad directa, ya que entre más obreros, más km de camino se pavimentarán, por lo tanto:

 = contante

b) Por otra parte, las variables obreros (O) – tiempo (T) están en proporcionalidad inversa respecto de la cantidad de km por pavimentar, ya que entre más obreros, menos tiempo se demorarán en pavimentar el camino.
Por lo tanto, O• T = constante.
De lo anterior se deduce que:

 = contante

Aplicando esta constante de proporcionalidad a los datos dados, tenemos que:

Multiplicando cruzado en esta proporción y despejando x obtenemos:

x = 25 obreros

Entonces, se requieren 25 trabajadores para pavimentar 5 km de camino en 10 días.         

Porcentaje
El porcentaje es una proporcionalidad directa en que se considera la totalidad como un 100%.
Por ejemplo, decir que el precio de un artículo ha subido 5% significa que se ha incrementado 5 partes de un total de 100. En términos fraccionarios, se dice que ha subido la 5/100 parte.
Cuando calculamos el porcentaje de un número, podemos hacerlo directamente ocupando el concepto de fracción. Por ejemplo, el 12% de 600 es:

El cálculo de porcentaje también se puede realizar a través de una proporcionalidad directa:

Es bastante útil utilizar este método para resolver problemas de porcentaje relacionados con ganancia y pérdida. Por ejemplo:
El precio de un chaleco durante una oferta ha bajado de $15.000 a $13.500. ¿Qué % de descuento se le aplicó?
En este caso, se considera el precio inicial ($15.000) como el 100%. De lo que disminuyó: $15.000 – $ 13.500 = $ 1.500, se requiere saber qué porcentaje es del precio original, por lo tanto:

 

PROPORCIONALIDAD INVERSA

PROPORCIONALIDAD COMPUESTA

Intervalos

Definición de intervalos

Se llama intervalo al conjunto de números reales comprendidos entre otros dados. A y B se llaman extremos de los intervalos.

Un intervalo (del latín inter-vallum, espacio, pausa) es un espacio métrico comprendido entre dos valores. Específicamente, un intervalo real es un subconjunto conexo de la recta real , es decir, una parte de recta entre dos valores dados. Es un conjunto medible y tiene la misma cardinalidad de la recta real.

Tipos de Intervalos

Intervalos cerrados.- se lo representa con corchetes.[a,b].

[a,b]={ xÎ/ a£x£b}                       

Intervalos abiertos.- se lo representa con paréntesis (a,b).

(a,b)={ xÎ/ a<x<b}

Intervalo semiabierto.-

[a,b)={ xÎ/ a<x£b}

Intervalo con extremo infinito

[µ,a)={ xÎ/ x£a}                   

Operaciones con intervalos

En notación conjuntista: supongamos el conjunto A:

Esto se lee: A son todos los x reales tales que x es menor que cuatro.

Y el conjunto B:

El conjunto B abarca todos los x, reales, mayores que nueve.

Ecuaciones o Igualdades

Identidad es un enunciado que compara dos expresiones matemáticas. Se lo representa con el signo = y es verdadera para todos los valores de las variables del conjunto referencial que corresponda.

2*5=10

Definición de ecuaciones

El primer uso del signo igualdad, la ecuación equivale a la notación moderna 14x + 15 = 71, tomado de The Whestone of Witte deRobert Recorde (1557).

Una ecuación es una igualdad matematica entre dos expresiones algebraicas, denominadas miembros, en las que aparecen valores conocidos o datos, y desconocidos o incognitas , relacionados mediante operaciones matematicas. Los valores conocidos pueden ser numeros,coeficientes o constantes ; y también variables cuya magnitud pueda ser establecida a través de las restantes ecuaciones de un sistema, o bien mediante otros procesos. Las incógnitas, representadas generalmente por letras, constituyen los valores que se pretende hallar. Por ejemplo, en la ecuación:

                                                  

la variable representa la incógnita, mientras que el coeficiente 3 y los números 1 y 9 son constantes conocidas. La igualdad planteada por una ecuación será cierta o falsa dependiendo de los valores numéricos que tomen las incógnitas; se puede afirmar entonces que una ecuación es una igualdad condicional, en la que sólo ciertos valores de las variables (incógnitas) la hacen cierta.

Se llama solución de una ecuación a cualquier valor individual de dichas variables que la satisfaga. Para el caso dado, la solución es:

Propiedades que deben cumplir las ecuaciones

El axioma (Elemento básico de un sistema de lógica formal y junto con las reglas de inferencia definen un sistema deductivo) fundamental de las ecuaciones es que una ecuación se transforma en otra equivalente cuando se ejecutan operaciones elementales iguales en ambos miembros. Es decir:

•Si a los dos miembros de una ecuación se les suma una misma cantidad positiva o negativa, la igualdad subsiste.

•Si a los dos miembros de una ecuación se les resta una misma cantidad, positiva o negativa, la igualdad subsiste.

•Si a los dos miembros de una ecuación se multiplican por una misma cantidad, positiva o negativa, la igualdad subsiste.

•Si a los dos miembros de una ecuación se dividen por una misma cantidad, positiva o negativa, la igualdad subsiste.

Al exponer las propiedades de la igualdad en su forma general, para cualesquiera de los números reales a, b y c.

Si a = b entonces a + c = b + c

Si a = b entonces a – c = b – c

Si a = b entonces ac = bc

Si a = b entonces ^a/_c = ^b/_c siempre que c ≠ 0

Para todos los números reales a, b y c:

Propiedad reflexiva:

Si a = a. Ejemplo: 14 = 14x + 8 = x + 8

Propiedad simétrica:

Si a = b, entonces b = a. Ejemplo: Si x = 5, entonces 5 = x. Si y = 2 + x, entonces 2 + x = y.

Propiedad transitiva:

Si a = b y b = c, entonces a = c. Ejemplo: Si x = a y a = 8b, entonces x = 8b. Si xy = 8z, y 8z = 32, entonces xy = 32.

Ecuaciones de Primer Grado

Se dice que una ecuación algebraica es de primer grado cuando la incógnita (aquí representada por la letra x) está elevada a la potencia 1 (grado = 1), es decir que su exponente es 1.

Las ecuaciones de primer grado tienen la forma canónica:

ax + b = 0                                   

3x+2=8

3x=8-2

3x=6

x=3/6

x=2

Ecuaciones de Segundo Grado o Cuadrática

Las ecuaciones polinómicas de segundo grado tienen la forma canónica

ax² + bx + c = 0

Donde a es el coeficiente del término cuadrático (aquel en que la incógnita está elevada a la potencia 2), b es el coeficiente del término lineal (el que tiene la incógnita sin exponentes, o sea que está elevada a la potencia 1), y c es el término independiente (el que no depende de la variable, o sea que está compuesto sólo por constantes o números) Cuando esta ecuación se plantea sobre ℂ siempre se tienen dos soluciones:

ax² + bx + c = 0

                   

P(x)=+5x-6=0                                     +5x-6=0                         

 (x+6) (x-1)=0                                         36-30-6=0

 x+6=0   x-1=0                                        36-36=0

x=-6       x=1                                             0=0

Fórmula para hallar el discriminante         

D=b2-4ac

D=0, 2 respuestas reales diferentes.                         

D=0, 2 respuestas duplicadas.

D<0¸no tiene solución     

            

                                                     Inecuaciones o Desigualdades  

Una inecuación es una desigualdad algebraica en la que aparecen una o más incognitas en los miembros de la desigualdad. Si la desigualdad es del tipo o se denomina inecuación en sentido estricto y si es del tipo ≤ o ≥ se denomina inecuación en sentido amplio.

Del mismo modo en que se hace la diferencia de igualdad  y ecuacion, una inecuación que es válida para todas las variables se llama inecuación incondicional y las que son válidas solo para algunos valores de las variables se conocen como inecuaciones condicionales. Los valores que verifican la desigualdad, son sus soluciones.

• Ejemplo de inecuación incondicional: ..
• Ejemplo de inecuación condicional: ..

Valor Absoluto

El valor absoluto de un número entero es el número natural que resulta al suprimir su signo.

El valor absoluto lo escribiremos entre barras verticales.

|−5| = 5

|5| = 5

Valor absoluto de un número real

Valor absoluto de un número real a, se escribe |a|, es el mismo número a cuando es positivo o cero, y opuesto de a, si a es negativo.

|5| = 5            |-5 |= 5         |0| = 0

|x| = 2           x = −2           x = 2

|x|< 2        − 2< x < 2        x (−2, 2 )

|x|> 2            x< −2 ó x>2     (−∞ , −2) (2, +∞)

|x −2 |< 5     − 5 < x − 2 < 5    

 − 5 + 2 < x <  5 + 2     − 3 < x < 7

Propiedades del valor absoluto

1 Los números opuestos tienen igual valor absoluto.

|a| = |−a|

|5| = |−5| = 5

2El valor absoluto de un producto es igual al producto de los valores absolutos de los factores.

|a · b| = |a| ·|b|

|5 · (−2)| = |5| · |(−2)|      |− 10| = |5| · |2|     10 = 10

3El valor absoluto de una suma es menor o igual que la suma de los valores absolutos de los sumandos.

|a + b| ≤ |a| + |b|

|5 + (−2)| ≤ |5| + |(−2)|      |3| = |5| + |2|     3 ≤ 7

Función valor absoluto

Las funciones en valor absoluto se transforman en funciones a trozos, siguiendo los siguientes pasos:

1. Se iguala a cero la función, sin el valor absoluto, y se calculan sus raíces.

2. Se forman intervalos con las raíces y se evalúa el signo de cada intervalo.

3. Definimos la función a trozos, teniendo en cuenta que en los intervalos donde la x es negativa se cambia el signo de la función.

4 Representamos la función resultante.

D= 

D=

Ecuaciones e Inecuaciones con Valor absoluto

Al inicio del semestre se señaló que el valor absoluto de un número real es la distancia entre ese número y el cero en la recta numérica, esto es, │a│=│-a│.  Usamos este argumento para resolver ecuaciones con valor absoluto.  Por ejemplo, si │x│= 3, entonces x = 3 ó x = -3.  Por lo tanto, la solución de la ecuación │x│= 3  es  -3  y  3. 

Las soluciones  de una  ecuación de la forma │ax + b│= c,  donde  a ≠ 0  y  c es un número positivo, son aquellos valores que satisfacen:  ax + b = c  ó  ax + b = -c.