TRIGONOMETRIA

Trigonometria

Breve Reseña Historica de Trigonometria

La Trigonometría es la rama de las matemáticas que estudia las relaciones entre los lados y los ángulos de los triángulos. Los babilonios y los egipcios (hace más de 3000 años) fueron los primeros en utilizar los ángulos de un triángulo y las razones trigonométricas para efectuar medidas en agricultura y para la construcción de pirámides. También se desarrolló a partir de los primeros esfuerzos hechos para avanzar en el estudio de la astronomía mediante la predicción de las rutas y posiciones de los cuerpos celestes y para mejorar la exactitud en la navegación y en el cálculo del tiempo y los calendarios.

El estudio de la trigonometría pasó después a Grecia, en donde se destaca el matemático y astrónomo Griego Hiparco, por haber sido uno de los principales desarrolladores de la Trigonometría. Las tablas de “cuerdas” que construyo fueron las precursoras de las tablas de las funciones trigonométricas de la actualidad.

Desde Grecia, la trigonometría pasó a la India y Arabia donde era utilizada en la Astronomía. Y desde Arabia se difundió por Europa, donde finalmente se separa de la Astronomía para convertirse en una rama independiente que hace parte de la matemática.

Es así, como en este trabajo, se expondrá la historia y desarrollo de la trigonometría y de acuerdo a esto, fechas, épocas y principales precursores o personajes que lideraron el proceso o dieron los pasos fundamentales para el posterior desarrollo de esta importante rama de las matemáticas. Junto con esto, una biografía de cada uno de los exponentes y una línea del tiempo con personajes y descubrimientos para una mayor comprensión.

Definicion de Semirrecta._ Una semirrecta es la parte de una recta que esta a un lado de la misma desde un punto fijo llamado extremo y se extiende indefinidamente en una sola direccion.

 Definicion de Angulo._ Es la union de dos semirretas que se intersectan en su extremo.

Una de las semirrectas de conoce como el lado inicial del angulo, mientras que la otra recibe el nombre de lado terminal o final. El extremo donde se intersectan las semirrectas se denomina vertices del angulo.

 

Unidades Angulares

En la medición de ángulos y, por tanto, en trigonometría, se emplean tres unidades, si bien la más utilizada en la vida cotidiana es el grado sexagesimal, en matemáticas es el radián la más utilizada, y se define como la unidad natural para medir ángulos, el grado centesimal se desarrolló como la unidad más próxima al sistema decimal, se usa en topografía, arquitectura o en construcción.

• Radián: unidad angular natural en trigonometría. En una circunferencia completa hay 2π radianes (algo más de 6,28).
• Grado sexagesimal: unidad angular que divide una circunferencia en 360 grados.
• Grado centesimal: unidad angular que divide la circunferencia en 400 grados centesimales.
• Mil angular: unidad angular que divide la circunferencia en 6400 unidades.

360 grados representan un giro completo alrededor de una circunferencia.

180 grados representa 1/2 vuelta alrededor de una circunferencia.

90 grados representa 1/4 de vuelta.

1 grado representa 1/360 de vuelta.

1 grado representa 60 minutos (`)

1 minuto representa 60 segundos(``)

Interpretacion en Radianes

Clases de Angulos 

Coterminales._ Son aquellos angulos que tienen los mismos lados inicial y terminal.

Consecutivos._ Dos angulos de un mismo plano son consecutivos cuando solo tienen un lado en comun.

Adyacentes._ Dos angulos son adyacentes cuando son consecutivos y los lados no comunes son semirrectas en la misma direccion, pero en sentido contarrio. La suma de la smedidas de estos angulos es 180º.

Complementarios._ Dos angulos son complemntarios cuando la suma de sus medidas constituye la medidad de un angulo recto.

Opuestos por el vertice._ dos angulos se dicen opuestos por el vertice cuando los lados de uno de elllos son semirrectas opuetsas a los lados del otro,

Relacion entre grados sexagesimales y radianes

Se parte de la base de que una circunferencia completa tiene radianes, y que una circunferencia tiene 360° sexagesimales, luego tenemos:

Haciendo una regla de tres simple se llega a que el factor de conversión de grados sexagesimales a radianes es:

Luego tenemos que, para un ángulo x dado en grados, su equivalente X en radianes es:

y viceversa (si tenemos que, para un ángulo X dado en radianes, su equivalente x en grados es):

Funciones Trigonometricas

Sea P(a,b) un punto sobre la cvircunferencia de radio unitario y x el angulo en posicion estandar que forma el segmento OP con el semieje X.

Funcion Seno._ la funcion seno esta definida por

Funcion Coseno._  la funcion coseno esta definida por

Funcion Tangente._ la funcion tangente esta definida por

Funcion Cotangente._ la funcion cotangtente esta definida por

Funcion Secante._ la funcion secante esta definida por

Funcion Cosecante._ la funcion cosecante esta definida por

Por lo visto en la circunferencia de radio unitario se puede concluir para las funciones trigonometricas son positivas para todo angulo del primer cuadrante todas son positivas , segundo cuadrab¡nte solo son positivas el seno y la cosecante para angulos del tercer cuadrante solo son positivas la tangente u¡y la cotangente y para el cuarto cuadrante solo son positivas el coseno y la secante.

 Valores de las Funciones Trigonometricas

Identidades Trigonometricas

Una identidad trigonométrica es una igualdad entre expresiones que contienen funciones trigonométricas y es válida para todos los valores del ángulo en los que están definidas las funciones (y las operaciones aritméticas involucradas).

 

Ejercicio