RELACIONES Y FUNCIONES

Reseña Historica de Funcion

Según García (2001) el término función fue utilizado por primera vez en 1637 por el matemático y filósofo francés René Descartes (1596-1650), él mostró en sus trabajos de geometría que tenía una idea muy clara de los conceptos de ``variable'' y ``función'', realizando una clasificación de las curvas algebraicas según sus grados, reconociendo que los puntos de intersección de dos curvas se obtienen resolviendo, en forma simultánea, las ecuaciones que las representan, Descartes lo uso por primera vez para designar una potencia xn de la variable x.

“En 1694 el matemático alemán Gottfried Wilhelm Leibniz utilizó el término para referirse a varios aspectos de una curva, como su pendiente” (Encarta, 2003).

En la obra Introductio in Analysi Infinitorum, Leonhard Euler intenta por primera vez dar una definición formal del concepto de función al afirmar que: ``Una función de cantidad variable es una expresión analítica formada de cualquier manera por esa cantidad variable y por números o cantidades constantes''. como puede observarse, esta definición difiere de la que actualmente se conoce, pues siete años después, en el prólogo de las Instituciones, calculo diferencial, afirmó: ‘Algunas cantidades en verdad dependen de otras, si al ser combinadas las ultimas las primeras también sufren cambio, y entonces las primeras se llaman funciones de las últimas. Esta denominación es bastante natural y comprende cada método mediante el cual una cantidad puede ser determinada por otras. Así, si x denota una cantidad variable, entonces todas las cantidades que dependen de x en cualquier forma están determinadas por x y se les llama funciones de x''.

“En la historia de las matemáticas se le dan créditos al matemático suizo Leonhard Euler (1707-1783) por precisar el concepto de función, así como por realizar un estudio sistemático de todas las funciones elementales, incluyendo sus derivadas e integrales; sin embargo, el concepto mismo de función nació con las primeras relaciones observadas entre dos variables, hecho que seguramente surgió desde los inicios de la matemática en la humanidad, con civilizaciones como la babilónica, la egipcia y la china” (Encarta, 2003).
Según García (2001), hasta recientemente, su uso más generalizado ha sido el definido en 1829 por el matemático alemán Peter Dirichlet. Dirichlet entendió la función como una variable y, llamada variable dependiente, cuyos valores son fijados o determinados de una forma definida según los valores que se asignen a la variable independiente x, o a varias variables independientes x1, x2, ..., xk.

“Los valores, tanto de la variable dependiente, como de las variables independientes, son números reales o complejos. La expresión y = f(x), leída “y es función de x” indica la interdependencia entre las variables x e y; f(x) se daba normalmente en forma explícita, como f(x) = x2 - 3x + 5, o mediante una regla expresada en palabras, como f(x) es el primer entero mayor que x para todos aquellos x que sean reales. Si a es un número, entonces f(a) es el valor de la función para el valor x = a. Así, en el primer ejemplo, f(3) = 32 - 3 • 3 + 5 = 5, f(-4) = (-4)2 - 3(-4) + 5 = 33; en el segundo ejemplo, f(3) = f(3,1) = f(p) = 4” (Encarta, 2003).

La aparición de la teoría de conjuntos primero extendió, y luego alteró sustancialmente, el concepto de función. El concepto de función en las matemáticas de nuestros días queda ilustrado a continuación. Sean X e Y dos conjuntos con elementos cualesquiera; la variable x representa un elemento del conjunto X, y la variable y representa un elemento del conjunto Y. Los elementos de ambos conjuntos pueden ser o no números, y los elementos de X no tienen que ser necesariamente del mismo tipo que los de Y.

El concepto moderno de función está relacionado con la idea de Dirichlet. Dirichlet consideró que y = x2 - 3x + 5 era una función; hoy en día, se considera que y = x2 - 3x + 5 es la relación que determina la y correspondiente a una x dada para un par ordenado de la función ; así, la relación anterior determina que (3, 5), (-4, 33) son dos de los infinitos elementos de la función. Aunque y = f(x) se usa hoy todavía, es más correcto si se lee “y está funcionalmente relacionado con x”.

Las funciones se denominan también transformaciones o aplicaciones en muchas ramas de las matemáticas. Si el conjunto Y1 es un subconjunto propio de Y (esto es, al menos una y pertenece a Y pero no a Y1), entonces F es una función, transformación o aplicación del dominio X1 en Y; si Y1 = Y, F es una función, transformación o aplicación de X1 sobre Y.

¿Que es un par ordenado?

un par ordenado es un conjunto de dos elementos a y b al elemento a se lo denomina primera componente y a b la segunda componente.

 

¿Que es un producto cartesiano?

A,B sean AyB sean conjuntos no vacios vamos a denominar productos cartesianos entre A y B el conjunto de todos los pares ordenados cuya primera componente permanece al conjunto a y la segunda componente al conjunto b.

Relaciones

Relación es la correspondencia de un primer conjunto, llamado Dominio, con un segundo conjunto, llamado Recorrido o Rango, de manera que a cada elemento del Dominio le corresponde uno o más elementos del Recorrido o Rango.

Por su parte, una Función es una relación a la cual se añade la condición de que a cada valor del Dominio le corresponde uno y sólo un valor del recorrido.

 

Dominio en las relaciones son todos los elementos del conjunto de partida que tiene relacion con el conjunto de llegada se lo representa con dom. R.

 Rango se lo conoce como codominio.Son todos los elementos del conjunto de llegada que tienen relacion con el dominio del conjunto de partida se lo representa con rg. R.

Funciones de Variable Real

Funciones

Dados dos conjuntos A y B, llamamos función a la correspondencia de A en B en la cual todos los elementos de A tienen a lo sumo una imagen en B, es decir una imagen o ninguna.

Función real de variable real es toda correspondencia f que asocia a cada elemento de un determinado subconjunto de números reales, llamado dominio, otro número real.

f : D    
   x    f(x) = y 

El subconjunto en el que se define la función se llama dominio o campo existencia de la función. Se designa por D.

El número x perteneciente al dominio de la función recibe el nombre de variable independiente.

Al número, y, asociado por f al valor x, se le llama variable dependiente. La imagen de x se designa por f(x). Luego

y= f(x)

Se denomina recorrido de una función al conjunto de los valores reales que toma la variable y o f(x)

x      

 

Dominio Conjunto imagen o recorrido

El dominio es el conjunto de elementos que tienen imagen.

D = {x ∈ / ∃ f (x)}

El recorrido es el conjunto de elementos que son imágenes.

R = {f (x) / x ∈ D}

 Tipos de Funciones

 Los tipos de funciones son:

Funcion Inyectiva._ si a cada elemento del rango es imagen exclusiva de un unico elemento del dominio, ademas es necesario que:

N(A) ≤ N(B) para poder construir una funcion.

 Funcion sobreyectiva._  si el rango de F es B ademas es necesario que

N(A) ≥N(B).

Funciones algebraicas

En las funciones algebraicas las operaciones que hay que efectuar con la variable independiente son: la adición, sustracción, multiplicación, división, potenciación y radicación.

Las funciones algebraicas pueden ser:

Funciones explícitas

Si se pueden obtener las imágenes de x por simple sustitución.

f(x) = 5x − 2

Funciones implícitas

Si no se pueden obtener las imágenes de x por simple sustitución, sino que es preciso efectuar operaciones.

5x − y − 2 = 0

Funciones polinómicas

Son las funciones que vienen definidas por un polinomio.

f(x) = a₀ + a₁x + a₂x² + a₂x³ +··· + a_nxⁿ

Su dominio es , es decir, cualquier número real tiene imagen.

Funciones constantes

El criterio viene dado por un número real.

f(x)= k

La gráfica es una recta horizontal paralela a al eje de abscisas.

Funciones polinómica de primer grado

f(x) = mx + n

Su gráfica es una recta oblicua, que queda definida por dos puntos de la función.

Son funciones de este tipo las siguientes:

Función afín.

Función lineal.

Función identidad.

 Funcion Lineal

Un algodonero recoge 30 Kg cada hora, y demora media hora preparándose todos los días cuando inicia la jornada. La función lineal que representa esta situación es y = 30x – 15 donde y representa los Kg de algodón recogido y x el tiempo transcurrido en horas.

Realiza una tabla para la anterior función y grafícala.

¿Cuantos Kg de algodón se recogerán en una jornada de 8 horas?

Solución:

Primero realizamos la tabla.

x (tiemp en horas)	y (Kg algodón)
0.5	0
1	15
1.5	30
2	45

 y luego graficamos

Funciones cuadráticas

Son funciones polinómicas es de segundo grado, siendo su gráfica una parábola.

f(x) = ax² + bx + c

Representación gráfica de la parábola

Podemos construir una parábola a partir de estos puntos:

1. Vértice

Por el vértice pasa el eje de simetría de la parábola.

La ecuación del eje de simetría es:

2. Puntos de corte con el eje OX

En el eje de abscisas la segunda coordenada es cero, por lo que tendremos:

ax² + bx + c = 0

Resolviendo la ecuación podemos obtener:

Dos puntos de corte: (x₁, 0) y (x₂, 0) si b² − 4ac > 0

Un punto de corte: (x₁, 0) si b² − 4ac = 0

Ningún punto de corte si b² − 4ac < 0

3. Punto de corte con el eje OY

En el eje de ordenadas la primera coordenada es cero, por lo que tendremos:

f(0) = a · 0² + b · 0 + c = c        (0,c)

Ejemplo

Representar la función f(x) = x² − 4x + 3.

1. Vértice

x_v = − (−4) / 2 = 2     y_v= 2² − 4· 2 + 3 = −1       

 V(2, −1)

2. Puntos de corte con el eje OX

x² − 4x + 3 = 0

       

(3, 0)      (1, 0)

3. Punto de corte con el eje OY

(0, 3)

Tecnicas de Graficacion

Grafica de Funciones

Si f es una función real, a cada par (x, y) = (x, f(x)) determinado por la función f le corresponde en el plano cartesiano un único punto P(x, y) = P(x, f(x)). El valor de x debe pertenecer al dominio de definición de la función.

Como el conjunto de puntos pertenecientes a la función es ilimitado, se disponen en una tabla de valores algunos de los pares correspondientes a puntos de la función. Estos valores, llevados sobre el plano cartesiano, determinan puntos de la gráfica. Uniendo estos puntos con línea continua se obtiene la representación gráfica de la función.

x	1	2	3	4	5
f(x)	2	4	6	8	10

El criterio de la recta vertical 

Una curva en el plano cartesiano se representa es funcion si cualquier recta vertical intersecta la grafica como maximo un punto.

Operaciones con Funciones

Igualdad de Funciones 
Dadas dos funciones, para que sean idénticas han de tener el mismo dominio y codominio, y asignar la misma imagen a cada elemento del dominio:

Dadas dos funciones f : A → B y g : C → D, son iguales o idénticas si se cumple:

• Tienen el mismo dominio: A = C
• Tienen el mismo codominio: B = D
• Asignan las mismas imágenes: para cada x ∈ A = B, se tiene que f(x) = g(x)

Suma de funciones

(f + g)(x) = f(x) + g(x)

Dominio

D(f + g) = D f D g

Ejemplo

D_f = − {2}D_g = [0, ∞)

D(f + g) = [0, 2) (2, ∞)

Propiedades

Asociativa:

f(x) + [g(x) + h(x)] = [f(x) + g(x)] + h(x)

Conmutativa:

f(x) + g(x) = g(x) + f(x)

Elemento neutro:

La función constante: f(x) = 0.

Elemento simétrico:

La función opuesta: −f(x).

Resta de funciones

(f − g)(x) = f(x) − g(x)

Dominio

D(f − g) = D f D g

D(f + g) = [0, 2) (2, ∞)

Producto de funciones

(f · g)(x) = f(x) · g(x)

Dominio

D(f · g) = D f D g

D(f + g) = [0, 2) (2, ∞)

Propiedades

Asociativa:

f(x) · [g(x) · h(x)] = [f(x) · g(x)] · h(x)

Conmutativa:

f(x) · g(x) = g(x) · f(x)

Elemento neutro:

La función constante: f(x) = 1.

Distributiva:

f(x) · [g(x) + h(x)] = [f(x) · g(x)] + [f(x) · h(x)]

División de funciones

(f / g)(x) = f(x) / g(x)

Dominio

D(f + g) =(D f D g) − {x / g(x) = 0}

D f = − {2}D g = [0, ∞) g(x) ≠ 0

D(f + g) = (0, 2) (2, ∞)

Composicion de Funciones

 Si tenemos dos funciones: f(x) y g(x), de modo que el dominio de la 2ª esté incluido en el recorrido de la 1ª, se puede definir una nueva función que asocie a cada elemento del dominio de f(x) el valor de g[f(x)].

Veamos un ejemplo con las funciones f(x) = 2x y g(x) = 3x + 1.

(g o f) (x) = g [f(x)] = g (2x) = 3 (2x) +1 = 6x + 1

(g o f) (1) = 6 · 1 + 1 = 7

Ejemplos

1Sean las funciones:

1Calcular (f o g) (x)

2Calcular (g o f) (x)

2

1
2

3

1
2

Dominio de la composición de funciones

D_{(g o f)} = {x ∈ D_f / f(x) ∈ D_g}

Propiedades de la composición de funciones

1. Asociativa:

f o (g o h) = (f o g) o h 

2. No es conmutativa.

f o g ≠ g o f

3. El elemento neutro es la función identidad, i(x) = x.

f o i = i o f = f

Funcion Biyectiva
una función es biyectiva si es al mismo tiempo inyectiva y sobreyectiva; es decir, si todos los elementos del conjunto de salida tienen una imagen distinta en el conjunto de llegada, y a cada elemento del conjunto de llegada le corresponde un elemento del conjunto de salida.
Formalmente, dada una función :

La función es biyectiva si se cumple la siguiente condición:

Es decir, si para todo de se cumple que existe un único de , tal que la función evaluada en es igual a .
Dados dos conjuntos e finitos, entonces existirá una biyección entre ambos si y sólo si e tienen el mismo número de elementos.

Función creciente

Funcion estrictamente creciente

Funcion decreciente

 

Funcion estrictamente decreciente

 

Funcion Monotona

Una funcion es monotona si estrictamente creciente o estrictamente decreciente.

 

 

 Funcion Inversa

Se llama función inversa o reciproca de f a otra función f⁻¹ que cumple que:

Si f(a) = b, entonces f⁻¹(b) = a.

Veamos un ejemplo a partir de la función f(x) = x + 4